Demostración del Teorema de Stokes
Un pantallazo completo sobre el teorema más importante del cálculo multivariable.
Introducción
El Teorema de Stokes establece la relación que existe entre una integral de linea con una integral de superficie. Además, este teorema generaliza varios teoremas del cálculo vectorial.
Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819–1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes fechada el 2 de julio de 1850.
Stokes puso el teorema como una pregunta en el examen de 1854 del Premio de Smith, lo que dio como resultado que ahora lleve su nombre.
El Teorema de Green (1828) fue publicado antes que el teorema de Stokes (1854). No es de sorprenderse que se usara en esta demostración, a pesar de que el Teorema de Stokes es mucho más amplio y generalizador.
Esta documentación proviene de un trabajo de investigación para un final teórico de la materia Análisis Matemático II de la carrera de Ingeniería Electrónica.
Agradezco a los profesores Mg. Ing. Alicia Geminiani y Prof. Gustavo Pita por toda la ayuda brindada para llegar a este desarrollo. Sin su ayuda y su constante enseñanza, los conocimientos explayados en la presente publicación no hubieran sido posibles.
Enunciado
- Sea S una superficie definida por una función z = f(x, y), suave por tramos y orientada. Y que además cumple el teorema de Clairaut.
- Sea C la curva frontera de S, suave por tramos, simple y cerrada, con orientación positiva.
- Sea D una región que nace de la proyección de la superficie S sobre el plano XY.
- Sea F un campo vectorial de componentes <P, Q, R>, las cuales tienen derivadas parciales continuas en una región abierta en R3 que contiene a S.
Entonces:
Conceptos previos a la demostración:
- Rotacional: Tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto.
- Teorema de Green: Demuestra la relación existente entre la integral de línea alrededor de una curva C, y la integral doble sobre una región plana D.
- Nabla (∇): Operador diferencial vectorial
Demostración
Del segundo miembro de la igualdad
Calculamos el rotacional de F
Resolviendo el pseudo-determinante
Ahora tendremos que calcular el diferencial de superficie que acompaña al rotacional. Para ello definiremos una función de dos variables; esta función será la función parametrizada de la superficie.
Buscaremos un vector normal a la superficie, para ello partiremos de la siguiente igualdad:
Como la superficie se encuentra sobre el plano x-y, basta con encontrar la componente en z. ¿Cómo? Con un producto vectorial.
Por lo tanto:
Sabemos que el diferencial de área es correspondiente a un trozo infinitamente pequeño de la proyección sobre el plano x-y de la superficie S.
Si reemplazamos en el segundo miembro de la igualdad por los valores obtenidos del rotacional de F y del diferencial de superficie nos queda que:
Realizamos el producto punto entre ambos vectores de la segunda integral, y encontraremos la expresión resultante Nº 1
Del primer miembro de la igualdad
Parametrizamos la curva C y obtenemos una función vectorial
Sabemos que si realizamos la siguiente igualdad, ambos miembros no se alteran.
Y teniendo en cuenta la regla de la cadena para varias variables:
Por último, siempre que se respete el recorrido de la curva C, podemos afirmar que:
Calculamos la derivada temporal de la función que parametrizamos anteriormente
Despejamos el diferencial
Realizamos el producto punto de la expresión de la integral de linea
Si aplicamos distributiva tanto a R como el diferencial de t
Agrupamos para llegar a una expresión conocida
Recordamos la expresión a la que teníamos que llegar
Para llegar a dicha expresión aplicamos el Teorema de Green, al haber sido descubierto anteriormente es válido aplicarlo para la formulación de este teorema.
Encuentro las expresiones de las derivadas parciales de M y N
Realizamos la resta de ambos términos
Recordando el teorema de Clairaut podemos cancelar algunos términos
Si aplicamos distributiva con respecto a la suma de los dos términos que tenemos, podemos hallar una expresión con dos términos más que se cancelarán. (El triple producto)
Introducimos el segundo miembro de la expresión en nuestra integral
Comparamos ambas expresiones resultantes
Si los segundos miembros son iguales, los primeros también lo son.
Queda así demostrado el Teorema de Stokes.
